Lo studio che effettuiamo è approssimato in quanto supponiamo che sia definita una temperatura esterna (temperatura ambiente) costante, che la macchina sia internamente di conducibilità termica infinita (il che porta a considerare la macchina come un corpo omogeneo, cioè con tutti i suoi punti ad una stessa temperatura) e che la macchina funzioni a tensione di alimentazione e carico nominale costanti così che siano costanti le perdite nell'unità di tempo Pp(t) = cost.

Prendendo in considerazione un intervallo infinitesino di tempo dt [sec], si avrà in esso che l'energia persa Pp(t)·dt [J] sarà in parte ceduta all'ambiente K·S·DT(t)·dt [J] ed in parte immagazzinata c·G·d(DT) [J], il tutto sotto forma di calore. Naturalmente la parte immagazzinata farà aumentare la temperatura della macchina.

La condizione di equilibrio termico descritta è così esprimibile :

dove :

Pp(t) = potenza istantanea persa in [W]

Pp(t)·dt = energia persa che si trasforma in calore nel tempo dt in [J]

dt = intervallo infinitesimo di tempo in [s]

K = coefficiente di dispersione del calore in [W/(m²·°C)]

S = superficie disperdente in [m²]

DT(t) = differenza tra la temper. della macchina e l'ambiente refrigerante [°C]

c = calore specifico della macchina in [J/(Kg·°C)]

G = massa della macchina in [Kg]

c·G = capacità termica della macchina in [J/°C]

Dividendo entrambi i membri per dt si ottiene la seguente equazione differenziale lineare del primo ordine :

che si può risolvere rispetto a DT(t) col metodo della trasformata / antitrasformata di Laplace ricordando le proprietà della derivata:

Si osserva come la trasformata di Pp(t) equivale alla trasformata di un gradino di ampiezza Pp essendo Pp(t) = 0 per t < 0 e Pp(t) = Pp costante per t >= 0.

dove :

e è il numero di Nepero 2,718...

Dtmax è la differenza di temperatura tra la macchina e l'ambiente esterno refrigerante a regime termico raggiunto ovvero è il salto di temperatura che la macchina subisce passando da riposo a regime termico. Si osserva che è direttamente proporzionale alla potenza persa ed inversamente al calore ceduto all'ambiente.

t è la costante di tempo termica del sistema, ovvero il tempo impiegato dalla macchina a raggiungere la sovratemperatura massima Dtmax se non ci fosse scambio di calore con l'esterno. Corrisponde anche al tempo necessario affinchè la sovratemperatura raggiunga il valore 0,632·Dtmax e si può ritenere che la macchina sia a regime termico dopo un tempo pari a quattro o cinque volte la costante stessa. Infine è l'ascissa del punto di intersezione fra la tangente alla curva esponenziale nell'origine e la retta DT(t) = Dtmax.

La soluzione sopra ottenuta è una curva esponenziale crescente, si possono osservare il suo andamento ed alcuni tipici suoi valori nella figura sottostante:

Macchine asincrone
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