Si tratta del tema ministeriale per la seconda prova scritta degli esami di maturità per periti elettrotecnici dell’anno 1986.

Su un motore asincrono trifase ad anelli, avente le seguenti caratteristiche:

• tensione nominale V₁=380 [V];
• frequenza nominale f₁=50 [Hz];
• numero di poli 2·p=4;
• rapporto di trasformazione m=1,35;

si sono eseguite le seguenti prove:

1. prova a vuoto, con tensione e frequenza nominali, durante la quale la macchina ha assorbito una corrente I₁₀=21 [A] con un fattore di potenza cosj₁₀=0,18r;
2. prova a vuoto, con fasi rotoriche aperte, eseguita subito dopo la precedente e prima che il motore abbia rallentato apprezzabilmente,con tensione e frequenza nominali, durante la quale la macchina ha assorbito una corrente I₁₀*=16 [A] con un fattore di potenza cosj₁₀*=0,14r.

A pieno carico il motore assorbe una corrente pari a I₁=90 [A] con un fattore di potenza cosj₁=0,88r e lo scorrimento è s=2,3%. La resistenza misurata tra due morsetti statorici alla temperatura di funzionamento risulta pari a 0,12 [W].

Considerando le perdite addizionali pari allo 0,5% della potenza assorbita, il candidato determini:

1. la coppia resa ed il rendimento del motore a pieno carico;
2. la resistenza di ciascuna fase del rotore con collegamento a stella;
3. la coppia di spunto del motore alimentato alla sua tensione nominale e senza reostato di avviamento, sapendo che in tali condizioni la macchina assorbe una corrente pari a 6,5 volte quella di pieno carico con un fattore di potenza 0,28r;
4. la resistenza del reostato di avviamento affinché la coppia di spunto del motore sia paria 1,5 volte la coppia resa a pieno carico e la corrente assorbita 1,8 volte quella di pieno carico.

Per i punti c) e d) si può ritenere che le perdite nel ferro non varino in maniera apprezzabile.

In un secondo tempo, in parallelo al motore si allaccia un carico trifase equilibrato che, alla tensione di 380 [V], assorbe la potenza P_C=70 [kW] con fattore di potenza cosj_C=0,71 in ritardo. In tali condizioni risulta necessario rifasare il carico complessivo in modo che il fattore di potenza sia pari a 0,9r. Il candidato determini la capacità della batteria di condensatori adatta allo scopo, fissando il tipo di collegamento dei condensatori stessi e motivando la scelta effettuata.

Si illustrino i criteri adottati nelle diverse determinazioni.

Per determinare la coppia resa (erogata) ed il rendimento del motore è necessario calcolare prima la potenza meccanica erogata. Considerando il diagramma che raffigura il flusso della potenza attraverso la macchina risulta evidente che, nota la potenza elettrica assorbita P_A (facilmente calcolabile coi dati forniti), per risalire alla potenza meccanica erogata P è necessario calcolare le varie perdite.

Essendo il motore funzionante a pieno carico, le perdite nel ferro di rotore P_FeR e le perdite addizionali di rotore P_ADR sono trascurabili in quanto in questa condizione di funzionamento le frequenze rotoriche sono piccolissime.

Dalle due prove a vuoto si ricavano le perdite nel ferro di statore P_FES e le perdite meccaniche Pm.. Per fare questo serve innanzitutto la resistenza equivalente a stella di una fase statorica R₁, essa è calcolabile dividendo per due la resistenza misurata tra due morsetti di statore Rm indipendentemente dal tipo di collegamento (a stella o a triangolo) tra le fasi di statore:

Prendendo in considerazione la seconda prova a vuoto, quella condotta con gli avvolgimenti rotorici aperti, si osserva che la potenza elettrica assorbita Po^* dal motore è composta unicamente dalla potenza dissipata per effetto Joule negli avvolgimenti statorici e dalle perdite nel ferro di statore P_FeS. Mancano le perdite meccaniche in quanto essendo gli avvolgimenti rotorici aperti non può circolare la corrente rotorica (e quindi mancherà la corrente di reazione negli avvolgimenti statorici) nonostante il piccolo rallentamento dovuto agli attriti ed alla ventilazione dia luogo allo sviluppo di f.e.m. indotta negli avvolgimenti rotorici stessi. Da questa prova si possono quindi calcolare le perdite nel ferro di statore:

E’ il caso di osservare che questa prova a vuoto deve essere condotta con opportuni accorgimenti, infatti aprendo gli avvolgimenti si rotore cessa lo sviluppo della coppia motrice (in quanto si annulla la corrente rotorica) e con ciò il motore tende rapidamente a rallentare dando luogo a significative perdite nel ferro di rotore. Per evitare questo bisogna effettuare con sollecitudine la misura prima che il rallentamento diventi significativo, oppure bisogna trascinare il rotore alla velocità del campo rotante usando un secondo motore ausiliario.

Prendendo in considerazione la prima prova a vuoto, quella condotta con gli avvolgimenti rotorici normalmente cortocircuitati, si osserva che potenza elettrica assorbita Po dal motore è composta dalla potenza dissipata per effetto Joule negli avvolgimenti statorici, dalle perdite nel ferro di statore P_FeS e dalle perdite meccaniche P_m. Siccome le perdite nel ferro di statore già si sono calcolate, si possono ora calcolare le perdite meccaniche:

Sempre con riferimento alle due prove a vuoto risulta corretto che nella prova con avvolgimenti rotorici aperti la corrente assorbita sia più piccola e con più piccolo fattore di potenza, infatti manca dalla potenza assorbita la quota che compete alle perdite meccaniche.

Le perdite per effetto Joule negli avvolgimenti di statore P_JS si possono calcolare direttamente:

Ricordando che le perdite addizionali P_ADS sono pari al 5% della potenza elettrica assorbita P_A si ha:

La potenza trasmessa agli avvolgimenti di rotore varrà:

Le perdite nel rame di rotore le calcolo con la nota relazione che le lega alla potenza trasmessa:

La potenza meccanica erogata P varrà:

Il rendimento a pieno carico varrà quindi:

La coppia utile erogata all’albero vale:

Dove la velocità del rotore n₂ è calcolata nel seguente modo:

Considerando che è già nota la potenza dissipata per effetto Joule negli avvolgimenti di rotore P_JR, per determinare la resistenza equivalente a stella degli avvolgimenti R₂ è sufficiente calcolare prima la corrente I₂ che in essi circola.

Per fare questo si osserva che la corrente rotorica I₂ è legata alla corrente di reazione rotorica I₁’ attraverso il rapporto di reazione m che è fornito dalla traccia. Si tratta quindi di determinare innanzitutto la corrente di reazione rotorica e questo si può fare sottraendo dalla corrente I₁ assorbita a carico la corrente I₁₀^* assorbita a vuoto (vedi il circuito equivalente). Si considera come corrente a vuoto quella assorbita nella prova con avvolgimenti rotorici aperti poiché, mancando in questa prova dalla potenza assorbita le perdite meccaniche, tale valore è più prossimo a quello definito per il circuito equivalente (infatti nel circuito equivalente le perdite meccaniche sono riassunte nella resistenza fittizia R_M che tiene conto di tutta la potenza elettrica che si trasforma in meccanica). Comunque anche la corrente a vuoto così considerata non corrisponde esattamente a quella che si trova nel circuito equivalente poiché è comprensiva di una componente attiva conseguente alle perdite prodotte per effetto Joule negli avvolgimenti di statore.

Visto che siamo in regime sinusoidale e che le correnti I₁ e I₁₀^* non sono tra di loro in fase bisognerà operare coi numeri complessi facendo riferimento al seguente diagramma vettoriale:

La resistenza di ciascuna fase rotorica a stella varrà perciò:

Considerando che all’avviamento tutta la potenza trasmessa agli avvolgimenti rotorici P_TAV è in essi dissipata e concorre allo sviluppo della coppia di spunto C_AV, per determinare tale coppia basterà calcolare la P_TAV. Per fare questo si dovranno detrarre dalla potenza assorbita all’avviamento P_AAV le varie perdite. Visto che le frequenze rotoriche all’avviamento sono uguali a quelle statoriche, non sarà più lecito trascurare le perdite nel ferro di rotore e le perdite addizionali di rotore.

La potenza assorbita all’avviamento vale:

dove:

Le perdite per effetto Joule nello statore all’avviamento valgono:

Le perdite addizionali nello statore all’avviamento possono essere calcolate con l’espressione convenzionale:

Le perdite nel ferro di statore rimangono invariate in quanto esse dipendono dalla tensione e dalla frequenza di alimentazione e l’avviamento è effettuato a tensione e frequenza nominali:

Le perdite addizionali di rotore all’avviamento non sono determinabili con precisione e quindi le supponiamo uguali a quelle di statore:

Le perdite nel ferro di rotore all’avviamento, considerando che la massa del ferro di rotore non è molto diversa da quella di statore, le supponiamo uguale a quelle di statore:

La potenza trasmessa agli avvolgimenti rotorici all’avviamento varrà quindi:

La coppia di avviamento, considerando che la potenza è trasmessa alla velocità propria del campo rotante, varrà infine:

Si osserva che il motore non si può avviare sotto carico perché la coppia di spunto è inferiore alla coppia nominale.

L’inserzione del reostato di avviamento permette di ridurre la corrente di spunto, di aumentarne il fattore di potenza e di aumentare la coppia. Le nuove condizioni di avviamento devono determinare una corrente assorbita I_1AV" ed una coppia pari C_AV" a:

Per calcolare il valore del reostato di avviamento R_RA si considera che l’intera potenza trasmessa all’avviamento P_TAV" viene dissipata per effetto Joule negli avvolgimenti rotorici di resistenza R₂ e nel reostato R_RA collegato in serie ad essi.

La potenza trasmessa si calcola facilmente considerando che è nota la coppia di spunto desiderata:

Per calcolare la resistenza complessiva R_2T" degli avvolgimenti rotorici e del reostato di avviamento si dovrà prima calcolare la corrente rotorica all’avviamento I_2AV". Allo scopo si procederà in modo del tutto analogo a quanto già visto per il calcolo della corrente rotorica in condizioni normali di funzionamento. Vi è però prima il problema di calcolare il fattore di potenza cosj_AV" all’avviamento col reostato e questo si può fare attraverso il rapporto tra la potenza attiva P_AAV" e la potenza apparente S_AAV" assorbite all’avviamento. Con ovvio significato delle espressioni si ha:

La corrente nel circuito rotorico all’avviamento con reostato varrà:

La resistenza del reostato di avviamento sarà quindi:

Applicando il teorema di Boucherot unisco il motore ed il secondo carico in un unico carico:

Il fattore di potenza totale varrà quindi:

La capacità per fase necessaria a ricondurre il fattore di potenza complessivo a 0,9r, considerando di effettuare un rifasamento a triangolo visto che l’impianto è in bassa tensione, varrà:

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